【導讀】怎麼理解諧波分析（FFT）？本文將通過常用例子介紹傅立葉變化，以及計算過程中遇到幅值泄漏和柵欄效應，加窗函數原則和最後修複幅值、頻率的基本原理，並給出其在高端測量儀器中的應用。

隨著技術的發展，數據越來越多樣化，不再以單一的形式存在，例如一段錄音可被分解成若幹種信息，而快速傅立葉變化（簡稱FFT）常常被應用在數據的分解上，接下來我們講講FFT的原理。

什麼是FFT？

快速傅立葉變化簡稱FFT
，其實FFT就是DFT（離散傅立葉變化）的(de)一(yi)種(zhong)快(kuai)速(su)算(suan)法(fa)
，通(tong)過(guo)時(shi)間(jian)抽(chou)取(qu)或(huo)頻(pin)率(lv)抽(chou)取(qu)算(suan)法(fa)來(lai)加(jia)快(kuai)變(bian)化(hua)過(guo)程(cheng)
，具(ju)體(ti)的(de)算(suan)法(fa)就(jiu)不(bu)在(zai)這(zhe)裏(li)拓(tuo)展(zhan)
，我(wo)們(men)隻(zhi)要(yao)了(le)解(jie)離(li)散(san)傅(fu)立(li)葉(ye)變(bian)化(hua)即(ji)可(ke)。舉(ju)個(ge)簡(jian)單(dan)的(de)例(li)子(zi)，假(jia)如(ru)手(shou)機(ji)裏(li)正(zheng)在(zai)播(bo)放(fang)一(yi)首(shou)音(yin)樂(le)，隨(sui)著(zhe)時(shi)間(jian)的(de)推(tui)移(yi)，歌(ge)曲(qu)是(shi)不(bu)是(shi)按(an)照(zhao)它(ta)的(de)音(yin)符(fu)播(bo)放(fang)呢(ne)
？若(ruo)以(yi)高(gao)低(di)音(yin)作(zuo)為(wei)縱(zong)軸(zhou)，時(shi)間(jian)左(zuo)右(you)橫(heng)軸(zhou)建(jian)立(li)直(zhi)角(jiao)坐(zuo)標(biao)得(de)到(dao)（圖1-1）
，以音符作為橫軸建立直角坐標得到（圖1-2）。

圖1 生活中FFT例子

我們稱圖1中圖1-1為時域，圖1-2稱為頻域，數據由時域轉換為頻域的過程我們稱為傅立葉轉換（圖2），由you於yu轉zhuan換huan後hou的de頻pin域yu數shu據ju是shi不bu連lian續xu的de，所suo以yi為wei離li散san傅fu立li葉ye轉zhuan換huan。其qi中zhong轉zhuan換huan後hou得de到dao的de頻pin譜pu圖tu中zhong頻pin率lv不bu為wei零ling且qie幅fu值zhi最zui大da的de一yi般ban都dou是shi基ji波bo
，也ye叫jiao零ling次ci諧xie波bo。

圖2 時域到頻域

什麼是頻率泄漏
？

諧(xie)波(bo)分(fen)析(xi)一(yi)段(duan)采(cai)集(ji)時(shi)間(jian)較(jiao)長(chang)的(de)數(shu)據(ju)，需(xu)要(yao)將(jiang)數(shu)據(ju)切(qie)成(cheng)一(yi)幀(zhen)幀(zhen)進(jin)行(xing)分(fen)析(xi)，這(zhe)個(ge)過(guo)程(cheng)稱(cheng)為(wei)信(xin)號(hao)截(jie)斷(duan)。信(xin)號(hao)截(jie)斷(duan)分(fen)為(wei)周(zhou)期(qi)截(jie)斷(duan)和(he)非(fei)周(zhou)期(qi)截(jie)斷(duan)。這(zhe)一(yi)點(dian)還(hai)是(shi)比(bi)較(jiao)好(hao)理(li)解(jie)，就(jiu)是(shi)在(zai)數(shu)據(ju)切(qie)成(cheng)一(yi)幀(zhen)幀(zhen)的(de)時(shi)候(hou)
，每(mei)幀(zhen)數(shu)據(ju)是(shi)否(fou)為(wei)周(zhou)期(qi)信(xin)號(hao)進(jin)而(er)判(pan)斷(duan)是(shi)哪(na)種(zhong)類(lei)型(xing)截(jie)斷(duan)。如(ru)圖(tu)3顯示。

圖3 信號截斷

周zhou期qi截jie斷duan不bu存cun在zai諧xie波bo泄xie漏lou，這zhe是shi因yin為wei信xin號hao頻pin率lv成cheng分fen為wei頻pin率lv分fen辨bian率lv的de整zheng數shu倍bei。非fei周zhou期qi截jie斷duan如ru圖tu所suo示shi，由you於yu重zhong新xin組zu成cheng數shu據ju進jin行xing諧xie波bo分fen析xi幅fu值zhi出chu現xian拖tuo尾wei，即ji會hui造zao成cheng如ru圖tu3-2頻(pin)譜(pu)圖(tu)的(de)現(xian)象(xiang)
，所(suo)以(yi)信(xin)號(hao)的(de)非(fei)周(zhou)期(qi)截(jie)斷(duan)，導(dao)致(zhi)頻(pin)譜(pu)在(zai)整(zheng)個(ge)頻(pin)帶(dai)內(nei)發(fa)生(sheng)了(le)拖(tuo)尾(wei)現(xian)象(xiang)，由(you)於(yu)能(neng)力(li)守(shou)恒(heng)最(zui)終(zhong)導(dao)致(zhi)幅(fu)值(zhi)比(bi)原(yuan)來(lai)的(de)低(di)，這(zhe)就(jiu)是(shi)幅(fu)值(zhi)泄(xie)漏(lou)。

柵欄效應

柵欄效應指的是離散傅立葉變化過程的頻譜被限製在基頻整數倍處
，猶如柵欄一樣關注的頻率主要分布在木塊之間，如圖4所示。

圖4 柵欄效應

窗函數及類型

qianmianyijinglejiexielouwenti，womenkeyitongguojiaheshidechuanghanshulaijinkenengjianshaopinputuoweidexianxiang
，nameshenmeshichuanghanshune？jiandanlijiejiushibutongdexinhaojieduanhanshurutu5所示，常見的窗函數有以下幾種：

圖5 窗函數類型

矩形窗相當為沒加窗
，常用於周期信號；信號隨機或未知
，或者多個頻率分量，測試關注是頻率而非能量大小
，則選擇漢寧窗；對校準目的
，要求幅值精準，適用平頂窗
；如果要求幅值頻率的精度，則選擇凱塞窗；檢測兩信號頻率相近
，幅值不同的，建議用布萊克曼窗。

加窗後幅值和頻率修正

通(tong)過(guo)前(qian)麵(mian)已(yi)經(jing)了(le)解(jie)加(jia)窗(chuang)函(han)數(shu)可(ke)減(jian)少(shao)泄(xie)漏(lou)現(xian)象(xiang)
，但(dan)頻(pin)率(lv)柵(zha)欄(lan)效(xiao)應(ying)沒(mei)得(de)到(dao)修(xiu)複(fu)，加(jia)窗(chuang)後(hou)幅(fu)值(zhi)泄(xie)漏(lou)現(xian)象(xiang)也(ye)隻(zhi)得(de)到(dao)緩(huan)解(jie)，那(na)麼(me)可(ke)以(yi)通(tong)過(guo)插(cha)值(zhi)算(suan)法(fa)來(lai)得(de)到(dao)一(yi)個(ge)準(zhun)確(que)的(de)幅(fu)值(zhi)和(he)頻(pin)率(lv)。算(suan)法(fa)原(yuan)理(li)是(shi)各(ge)個(ge)頻(pin)率(lv)成(cheng)分(fen)主(zhu)瓣(ban)形(xing)狀(zhuang)將(jiang)近(jin)似(si)窗(chuang)函(han)數(shu)頻(pin)譜(pu)的(de)主(zhu)瓣(ban)形(xing)狀(zhuang)，如(ru)果(guo)這(zhe)形(xing)狀(zhuang)可(ke)以(yi)用(yong)某(mou)個(ge)函(han)數(shu)來(lai)描(miao)述(shu)，則(ze)可(ke)利(li)用(yong)主(zhu)峰(feng)兩(liang)側(ce)的(de)譜(pu)線(xian)通(tong)過(guo)插(cha)值(zhi)計(ji)算(suan)出(chu)主(zhu)峰(feng)的(de)高(gao)度(du)

，從(cong)而(er)克(ke)服(fu)柵(zha)欄(lan)效(xiao)應(ying)。具(ju)體(ti)的(de)推(tui)導(dao)可(ke)查(zha)看(kan)《Hanning窗在插值FFT算法中應用的研究》這一文獻。

支持諧波分析的高端儀器

圖6 ZDL6000示波記錄儀

示波記錄儀ZDL6000支持波形離線和在線的諧波分析，離線最高可支持10M一幀進行FFT分析，支持多種窗函數設置，支持多個通道同時計算且支持回讀數據進行分析，如圖7。

圖7 離線FFT分析

在線支持最高采樣率2M
，多個通道同步采集計算分析，每幀數據分析周期可設置1~100ms，支持分析15次諧波
，並自動刷新保存導出csv文件。如圖8所示。

圖8 在線FFT分析

得到的諧波分析結果支持二次運算，可自動導出csv等強大功能。

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