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有源濾波器的相位響應第三部分：帶通響應

發布時間：2018-04-28 來源：Hank Zumbahlen 責任編輯：wenwei

【導讀】在本係列的第一篇文章中,我考察了濾波器相位與濾波器實現拓撲結構的關係。在第二篇文章中,我考察了低通和高通響應濾波器傳遞函數的相位偏移。這篇文章將重點討論帶通響應。雖然濾波器主要針對幅度響應而設計，但在一些應用中，相位響應可能非常重要。

出於考察目的，有源濾波器的傳遞函數實際上是濾波器傳遞函數和放大器傳遞函數的級聯（見圖1）。

圖1. 濾波器作為兩個傳遞函數的級聯。

帶通傳遞函數

把低通原型的分子改為

結果將把濾波器變成一個帶通函數。這會在傳遞函數內引入一個零點。分子中的一個s得到一個零點，分母中的一個s得到極點。零點將產生頻率上升響應，而極點將產生頻率下降響應。

二階帶通濾波器的傳遞函數變為：

此處的ω為濾波器增益峰值化時的頻率 (F0 = 2 π ω0)

H0 為電路增益（Q峰值化），定義為：

其中，H為濾波器實現的增益。

對帶通響應來說，Q有特殊意義。它是濾波器的選擇性。定義為：

其中，FL和FH為響應比最大值相差–3 dB時的頻率。

濾波器的帶寬 (BW) 定義為：

可以證明，諧振頻率 (F0)為 FL 和 FH的幾何平均值，這就意味著，F0 在對數尺度上將出現在FL 和 FH 二者的中點。

另需注意的是，在對數尺度上，帶通響應的波裙在 F0 左右始終是對稱的。

帶通濾波器對各種Q值的幅度響應如圖2所示。在此圖中，中心頻率的增益歸一化為1 (0 dB)。

圖2. 歸一化的帶通濾波器幅度響應

雖然本文主要關注相位響應，但了解下濾波器幅度響應也很有用。

這裏需要提醒一下。帶通濾波器有兩種定義方式。窄帶情況為經典定義，如上文所示。然而，在某些情況下，如果高、低截止頻率相差很大，則帶通濾波器采用獨立的高通和低通部分進行構造。這裏所說的相差很大是說至少相差2個倍頻程（頻率×4）。這就是寬帶情況。本文中，我們主要關注窄帶情況。對於寬帶情況，可將濾波器視為獨立的高通和低通部分。

雖然帶通濾波器可用巴特沃茲、貝塞爾或切比雪夫等標準響應定義，但它們也通常按照其Q和F0定義。

帶通濾波器的相位響應為：

請注意，不存在單極點帶通濾波器。

圖3. 歸一化的帶通濾波器相位響應

圖3從中心頻率的1%到中心頻率的100倍對公式6進行估值。中心頻率的相移為0°。中心頻率為1，Q等於0.707。此Q與前一篇文章中使用的Q相同，但該篇文章中我們使用的是α。記住，α = 1/Q。

觀察後發現，此曲線的形狀基本上與低通（和相應的高通）的曲線形狀相同。但是，本例中相移從中心頻率下方90°開始，在中心頻率處趨於0°，最後結束於中心頻率上方–90°。

在圖4中，我們考察了在Q不斷變化時帶通濾波器的相位響應。觀察傳遞函數可以發現，相位變化可能發生在相對較大的頻率範圍內，變化的範圍與電路的Q成反比。同樣，在觀察後發現，曲線的形狀與低通（和高通）響應相同，僅範圍有差異。

圖4. Q不斷變化時歸一化的帶通濾波器相位響應

放大器傳遞函數

之前的部分顯示，傳遞函數基本上就是單極點濾波器的傳遞函數。雖然放大器的相移通常被忽視，但它可影響複合濾波器的整體傳遞。本文隨機選擇了AD822 用於濾波器的仿真。這樣選擇的部分原因是為了最大程度地降低對濾波器傳遞函數的影響。這是因為，放大器相移的頻率明顯高於濾波器本身的轉折頻率。AD822的傳遞函數如圖5所示，其信息直接取自數據手冊。

圖5. AD822波特圖增益和相位。

示例1：Q = 20 的1 kHz 2 極點帶通濾波器

第一個示例開始時是作為帶通設計的濾波器。我們隨意選擇了一個1 kHz的中心頻率和數值為20的Q。由於Q在較高的一側，因此我們將使用雙放大器帶通 (DABP) 配置。同樣，這是隨意選擇的。

我們使用參考1的設計公式。相應的電路如圖6所示：

圖6. 1 kHz、Q = 20的DABP帶通濾波器。

本文中我們主要關注相位，但我認為考察下幅度響應也很有用。

圖7. 1 kHz、Q = 20的DABP帶通濾波器幅度響應。

圖8所示為相位響應：

圖8. 1 kHz、Q = 20的DABP帶通濾波器相位響應。

應當注意，DABP配置為同相。圖8與圖3一致。

示例2：從1 kHz、3 極點0.5 dB 切比雪夫低通到帶通濾波器的轉換

濾波器原理以低通原型為基礎，低通原型可以其他形式表示。本例使用的原型是1 kHz、3極點、0.5 dB切比雪夫濾波器。選擇切比雪夫濾波器是因為，如果響應不正確，它可以顯示得更清楚。例如，通帶中的紋波將不會排成一行。在本例中，巴特沃茲濾波器可能過於寬鬆。選擇3極點濾波器是為了能夠轉換一個極點對和單個極點。

LP 原型的極點位置（來自參考1）為：

第一級為極點對，第二級為單極點。請注意，用α表示兩個完全不同的參數的做法是不可取的。左側的α和β為複平麵上的極點位置。這些是轉換算法中使用的值。右側的α為1/Q，這正是物理濾波器設計等式所希望看到的。

現在，低通原型被轉換成了帶通濾波器。參考1中列出的一係列等式用於轉換。原型濾波器的每個極點都將轉換成一個極點對。因此，轉換完成時，3極點原型將擁有6個極點（3個極點對）。此外，原點處將有6個零點。不存在單極點帶通。

轉換過程的部分工作是指定可合成的濾波器的3 dB 帶寬。在這種情況下，該帶寬將被設為500 Hz。產生的轉換結果如下：

實際上，先將更低的增益和Q部分放入串中可能很有用，因為這可最大程度地提高信號電平處理能力。前兩級存在增益要求的原因在於，相對於總濾波器中心頻率，它們的中心頻率將會衰減（也就是說，它們將在其他部分的波裙上）。

由於結果得到的Q適中（小於20），因而將選用多級反饋拓撲結構。我們使用參考1中多路反饋帶通濾波器的設計方程設計濾波器。圖9顯示了濾波器本身的原理圖。

圖9. 1 kHz、6極點、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器。

圖10中可以看到完整濾波器的相移。曲線圖單獨顯示了第一部分的相移（第1部分）、前兩個部分的組合相移（第2部分），以及完整濾波器的相移（第3部分）。這些曲線顯示了 "實際"濾波器部分的相移，其中包括放大器的相移和濾波器拓撲結構的反相。

圖10中有幾點細節需要注意。第一，相位響應具有累積性。第一部分顯示了180°的相位變化（濾波函數的相移，忽視了濾波器拓撲結構的相移）。第二部分顯示了因具有兩部分而產生的 360°相位變化，每個部分180°。記住，360° = 0°。第三部分顯示了540°的相移，每個部分180°。還應注意，在高於10 kHz的頻率處，我們開始看到相位因放大器響應而輕微滾降。還可以看出，滾降也具有累積性，會隨著每個部分而增大。

圖10. 1 kHz、6極點、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器的相位響應。

在圖11中我們可以看到完整濾波器的幅度響應。

圖11. 1 kHz、6極點、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器的幅度響應。

結論

本文討論的是帶通濾波器的相移。在前麵幾篇文章中，我們考察了與濾波器拓撲結構相關的相移以及低通和高通拓撲結構的相移。在後續文章中，我們將考察陷波濾波器和全通濾波器。在最後一期，我們將總結並考察相移如何影響濾波器的瞬態響應，同時還會考察群延遲、脈衝響應、階躍響應，以及它們對信號的意義。

有源濾波器的相位響應第三部分：帶通響應

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