頻率f的原始定義是每秒出現的次數，可用以衡量機械運動、電信號、乃至任何事件重複出現的頻度
，這當然不存在有“負”的概念。當用頻率描述圓周運動時（即進入了二維信號平麵），產生了角頻率 ω”的概念，從機械旋轉運動出發，定義為角速度

，對於周期運動，角速度也就是角頻率。通常 θ以反時針為正，因此轉動的正頻率是反時針旋轉角速度
，負頻率就是順時針旋轉角速度。正、負號是非常自然形成的，沒有物理意義的有無問題。電的單位向量（電壓或電流）圍繞原點的轉動，可以用表示，這是在電路中都清楚的。θ的正負所代表的物理意義從未有什麼爭議，它的導數的de物wu理li意yi義yi不bu言yan自zi明ming，取qu正zheng取qu負fu都dou不bu影ying響xiang定ding義yi，為wei什shen麼me取qu負fu就jiu會hui失shi去qu物wu理li意yi義yi了le呢ne？在zai信xin號hao與yu係xi統tong課ke程cheng中zhong，為wei了le簡jian化hua問wen題ti，便bian於yu初chu學xue者zhe掌zhang握wo概gai念nian，開kai宗zong明ming義yi地di把ba研yan究jiu範fan圍wei限xian定ding於yu實shi 信 號 f(t) 
， 也就是在電壓旋轉向量中，隻研究它在實平麵或虛平麵上的一個投影 sin(ωt)或 cos(ωt)，研究複信號的特性與隻研究實信號 

 

sin(ωt)或 cos(ωt) 是兩個不同的層次。前者是反映信號在空間的全麵特性，如圖1 所示。後者隻研究了信號在一個平麵（x-t或y-t組成的平麵）上投影的特性。這就必然要丟掉一些重要的信息，以致 x=sin(ωt) 與sin(-ωt)在x-t平麵中的波形沒有任何差別，這是人們對負頻率的意義產生疑問的直接原因之一。很顯然，在x-t或y-t的平麵內，是不可能看出旋轉的。既看不到θ，更看不到ω。隻有在x-y平麵上才能看到這兩個旋轉參數。

 

 

 

同樣，用ejtω或 sin(ωt)或 cos(ωt)作(zuo)為(wei)核(he)來(lai)做(zuo)傅(fu)立(li)葉(ye)變(bian)換(huan)所(suo)得(de)的(de)結(jie)果(guo)也(ye)是(shi)前(qian)者(zhe)全(quan)麵(mian)，後(hou)者(zhe)片(pian)麵(mian)。對(dui)實(shi)信(xin)號(hao)做(zuo)傅(fu)立(li)葉(ye)變(bian)換(huan)時(shi)，如(ru)果(guo)用(yong)指(zhi)數(shu)為(wei)核(he)
，將(jiang)得(de)到(dao)雙(shuang)邊(bian)頻(pin)譜(pu)。以(yi)角(jiao)頻(pin)率(lv)為(wei)Ω的餘弦信號為例
，它有具有位於±Ω兩處的、幅度各為 0.5、相角為零的頻率特性。它的幾何關係可以用圖2表示。兩個長度為 0.5 的向量，分別以±Ω等速轉動，它們的合成向量就是沿實軸方向的餘弦向量。而沿虛軸方向的信號為零。可見必須有負頻率的向量存在
，才可能構成純 粹的實信 號 。 所以歐公式是有其明確的幾何意義（即物理意義）的。在文獻[1]中給出了動畫，並給出了正、負數字頻率的幾何解釋。

 

 

 

正餘弦信號中包括正負雙邊頻譜，不僅有物理意義，而且具有重要的工程價值。

 

1）二相異步電機的設計

 

genjuzhegegainian，keyiyongliangluzaikongjianzhengjiaodeshixinhaolaigouchengxuanzhuandiancichang，shejidiandongji。shangmiangeichuledanweiyuxianbozaizhengfulianggepinlvshangyoufuduxiangdeng，xiangjiaojunweilingdelianggenpuxian；同樣
，單位正弦波在同樣正負兩個頻率上也有幅度相等的譜線，不過它們的相角分別為±π/2。用立體圖表示如圖 3(a)。

 

如ru果guo把ba正zheng弦xian和he餘yu弦xian兩liang個ge信xin號hao的de正zheng頻pin率lv成cheng分fen設she計ji得de相xiang等deng相xiang反fan
，則ze把ba它ta們men合he成cheng以yi後hou
，就jiu隻zhi剩sheng下xia負fu頻pin率lv成cheng分fen
，它ta就jiu構gou成cheng一yi個ge單dan純chun負fu向xiang旋xuan轉zhuan的de電dian信xin號hao。為wei此ci可ke以yi把ba正zheng弦xian信xin號hao在zai空kong間jian上shang轉zhuan動dongπ/2，使它的正頻率譜線恰好與餘弦信號的正頻率譜線反向，這樣兩個信號的合成（見圖3(b)）jiuchengweiyigezhiyoufupinlvpuxiandexinhao，dangrantazaishiyubiranshifushuxinhao。changyongdeerxiangyibudianjijiushizheyangfuxiangzhuandongde。eryaoshigaidianjizhengzhuan，zeyaoshiliangzhedefupinlvchengfenhuxiangdixiao，zhibaoliuqizhengpinlvchengfen。

 

 

2）通信領域中的 Hilbert 變換

 

實信號的雙邊頻譜是對稱的。如果它的單邊頻帶寬 W，考慮到負頻率成分，實際占的頻譜區域就是±W，所以通信中要傳輸這樣的信號就需要占用 2W的頻帶寬度。為了節省頻帶，人們就發明了 Hilbert 變換
，它可以把信號的正頻率頻譜移相-90°
，把負頻率頻譜移相90°，然後再將這個信號移相90°與原信號相加，使兩者的負頻率成分互相抵消，正頻率成分加倍，構成一個沒有負頻率頻譜的複信號,（如同上麵所說的二相異步電機那樣）。這個複信號的帶寬就隻占 W 了。用這個方法，使頻帶節約了一半。在這裏，可以看到負頻率成分的重要性，在傳送信號時。

它是不可或缺的部分。另外，也看到負頻率成分與複信號的密切關係。 
 

3）產生任意的平麵運動軌跡 
 

文獻[5]曾zeng提ti出chu根gen據ju傅fu立li葉ye反fan變bian換huan原yuan理li產chan生sheng平ping麵mian運yun動dong軌gui跡ji的de方fang法fa。從cong上shang麵mian歐ou拉la公gong式shi的de幾ji何he意yi義yi不bu難nan得de知zhi，傅fu立li葉ye反fan變bian換huan公gong式shi其qi實shi表biao示shi了le多duo個ge頻pin譜pu旋xuan轉zhuan向xiang量liang的de合he成cheng
，這zhe些xie向xiang量liang的de頻pin率lv規gui定ding了le它ta信xin號hao的de實shi部bu
，在zai y軸上的投影是信號的虛部。

 

不難設計出一個程序來演示這個過程
，在[2,3]中編寫了一個MATLAB 程序
，程序名為 exn941。它把四個集總頻譜合成起來。假如給出這些頻譜分量如下：

 

a(1) = 1， ω(1) = 1； a(2) = 1， ω(2) = －1； a(3) = 0.5
，ω(3) = 3；a(4) = 0.5
，ω(4) = －4
；

 

在此處
，為了顯示複信號
，有意把輸入頻譜設成不對稱的

，見圖5(d)。於是讀者將看到四節杆的運動動畫，並得到杆係及其末端在複平麵上的軌跡（圖4），改變了比例尺後為圖 5 (a)。將它在x，y兩方向的投影與時間軸的關係畫在圖5(b)和(c)中，就得到信號與係統課程中常見的實信號曲線。

 

 

輸入頻譜的幅度可以是負數，也可以是虛數
，甚至可以是複數
，它不僅反映了頻譜的大小
，還反映了該向量的起始相位；pinpudepinlvzezhinengshiyouzhengfuhaodeshishu，zhengpinlvhefupinlvyijizaigaipinlvshangpinpudeyiyizaicibuyanziming。duzhekeyizuogezhonggeyangdeshiyan。lirudangliangzupinlvjuyoubeipinguanxishi
，dedaodeshizhouqixinhao
，ruguopinlvbishiwulishu，najiangdechufeizhouqidexinhao；另外

，這樣的演示隻適用於集總頻譜，對於分布的頻譜密度
，就要把它想象為若幹小的集總頻譜的疊合。

 

總之有了這樣的形象演示，可以大大擴展時域信號與頻域譜之間關係的思維空間。

 

4）多普勒頻率

 

多普勒頻率又是一個負頻率的實例，如果信號的發射源向我們運動而來，那麼多普勒頻率就是正頻率
；ruguoxinhaodefasheyuanxiangwomenyuanlierqu
，nameduopulepinlvjiushifupinlv，zaizhelizhengfupinlvdoushiyoumingquewuliyiyide。duopulepinlvsuishiyizhongchapin，tabiaoxianweihechengxinhaodebaoluopinlv
，yincirengranfuheshangshudeyuanli
，zaishixinhaoyuzhinengqiuchuduopulepinlvdedaxiao

，danjiancebuchutadezhengfu。yaodedaofupinlv，bixucongfuxinhaoyukaolv。kejian，budongdezheyidian，jiuwufazhaodaoduopulecesudeyuanlikuangtu。

 

5）機械工程領域的應用

 

關於二維信號的傅立葉變換，國內早已有學者將其應用於工程領域
，參見文獻[4]
、 [5]。這些都是說明頻譜中負頻率物理意義的實際例證。

 

 

pinpuzhongfupinlvchengfendewuliyiyiwangwangbuweimouxierenmenlijie，qizhuyaoyuanyinshitamenwangjileshixinhaopingmianneiyanjiuwentidejuxianxing。yinweizaixinhaoyuxitongkechengzhongyanjiudexinhaotongchangzhixianyushixinhao。congshixinhaodex-tdeboxingtushanggenbenkanbuchupinlvdezhuanxianghezhengfu

，pinlvzhinengbiaoxianweimeimiaoxinhaozhongfudecishu。fenbuqingzhengfujiuyiweishizhengpinlv
，zhishiyizhongxiguanxingdesiweifangfaeryi。

 

歸根到底，轉角和頻率的正負，必須在x-ypingmianhuoerweixinhaozhongcainengguanchadao。yinweiguanchadefangfabudui，kanbudaoqiyiyi，congerfourentadecunzai
，zheshirenshilunshangdecuowu
，bushikexuedefangfa。zhejiuhe“瞎子摸象”的故事所說的那樣
，摸象腿的人否認象有鼻子，毛病出在他的驗證方法。他老想在象腿（實信號域）上找到象鼻子（負頻率），當然也永遠找不到。正確的方法是必須換一個角度，摸別的部位（複信號域），才能得到全麵的知識。

 

某些學者不承認負頻率是由於把“頻率是每秒鍾循環的次數”的(de)陳(chen)舊(jiu)概(gai)念(nian)絕(jue)對(dui)化(hua)，其(qi)實(shi)頻(pin)率(lv)的(de)概(gai)念(nian)是(shi)不(bu)斷(duan)發(fa)展(zhan)充(chong)實(shi)的(de)。每(mei)秒(miao)次(ci)數(shu)的(de)概(gai)念(nian)隻(zhi)能(neng)粗(cu)糙(cao)地(di)研(yan)究(jiu)信(xin)號(hao)外(wai)部(bu)形(xing)態(tai)，無(wu)法(fa)涉(she)及(ji)信(xin)號(hao)每(mei)周(zhou)期(qi)內(nei)部(bu)的(de)細(xi)微(wei)波(bo)形(xing)特(te)征(zheng)，而(er)這(zhe)恰(qia)好(hao)是(shi)傅(fu)立(li)葉(ye)變(bian)換(huan)的(de)任(ren)務(wu)。從(cong)它(ta)的(de)核(he)已(yi)經(jing)可(ke)以(yi)清(qing)楚(chu)地(di)看(kan)到(dao)
，正(zheng)是(shi)它(ta)摒(bing)棄(qi)（或發展）了原始的頻率定義

，采用了角頻率的概念。單位是弧度/秒，而且具有明確的方向和正負號。其實頻率的概念還在繼續發展，進入到數字信號處理時又進一步出現了數字頻率
，它的單位是弧度（去掉了分母上的“秒”），取值範圍是[-π，π]。它的物理意義已變為兩次采樣時刻之間向量轉過的角度，在文獻[1]中對此有詳細的說明。如果停留在“每秒次數”的舊概念上，那“數字信號處理”也就無法發展了。

 

 

這個問題是從教學中提出的，作者在旁聽“信號與係統”課程時，在老師的幻燈片上看到了 “關於雙邊譜，負頻率隻有數學意義，沒有物理意義”的提法。我們覺得這是個錯誤，而且恐怕不是個別老師的想法。回來一查，果然如此

，很多相當權威的主流教材上都這麼寫。

 

其實，“×××隻有數學意義，沒有物理意義”這樣的“命題”誰(shui)也(ye)沒(mei)有(you)證(zheng)明(ming)過(guo)
，也(ye)是(shi)無(wu)法(fa)證(zheng)明(ming)的(de)
，它(ta)最(zui)多(duo)隻(zhi)能(neng)算(suan)是(shi)猜(cai)想(xiang)。隻(zhi)要(yao)有(you)一(yi)個(ge)反(fan)例(li)就(jiu)可(ke)被(bei)推(tui)翻(fan)，本(ben)文(wen)已(yi)經(jing)舉(ju)出(chu)了(le)多(duo)個(ge)反(fan)例(li)
，說(shuo)明(ming)它(ta)是(shi)完(wan)全(quan)錯(cuo)誤(wu)的(de)。教(jiao)師(shi)絕(jue)不(bu)該(gai)把(ba)錯(cuo)誤(wu)的(de)猜(cai)想(xiang)說(shuo)成(cheng)真(zhen)理(li)

，更(geng)不(bu)能(neng)寫(xie)在(zai)書(shu)上(shang)和(he)幻(huan)燈(deng)片(pian)上(shang)去(qu)誤(wu)導(dao)學(xue)生(sheng)。數(shu)學(xue)是(shi)更(geng)抽(chou)象(xiang)、gengshenkedimiaoshuwulixianxiangdegongju，erwulishishizhengdekexue。xianyutiaojian
，renmenwangwangzanshihairenshibudaoshuxuedinglidewuliyiyi。shuxuechaoqianwulishikexueshishangduocichuxiandexianxiang，biruxushu、非歐氏幾何等。這時應該努力去理解它
，認識它
，而不是輕易地放棄它
、否定它。自己沒想通

，沒找到的事物，不能說它不存在。給學生講課時，隻能說“我們目前還沒有想通×××的物理意義”。這才能表明教師在科學上的嚴肅和謙遜
，也有助於培養學生的科學鑽研和創新精神。

 

 

討(tao)論(lun)這(zhe)個(ge)問(wen)題(ti)，不(bu)僅(jin)是(shi)理(li)論(lun)上(shang)的(de)探(tan)討(tao)，對(dui)於(yu)提(ti)高(gao)教(jiao)學(xue)質(zhi)量(liang)是(shi)有(you)重(zhong)大(da)意(yi)義(yi)的(de)。今(jin)天(tian)，信(xin)息(xi)技(ji)術(shu)如(ru)此(ci)的(de)發(fa)展(zhan)，很(hen)大(da)程(cheng)度(du)是(shi)由(you)於(yu)深(shen)入(ru)大(da)量(liang)地(di)開(kai)發(fa)頻(pin)譜(pu)資(zi)源(yuan)的(de)結(jie)果(guo)。在(zai)同(tong)學(xue)剛(gang)進(jin)入(ru)這(zhe)個(ge)資(zi)源(yuan)庫(ku)的(de)時(shi)候(hou)，我(wo)們(men)要(yao)引(yin)導(dao)他(ta)們(men)對(dui)這(zhe)個(ge)寶(bao)藏(zang)發(fa)生(sheng)極(ji)大(da)的(de)興(xing)趣(qu)，非(fei)常(chang)珍(zhen)惜(xi)這(zhe)個(ge)寶(bao)藏(zang)
，去(qu)深(shen)鑽(zuan)，去(qu)挖(wa)掘(jue)它(ta)的(de)每(mei)一(yi)點(dian)潛(qian)力(li)。不(bu)能(neng)為(wei)了(le)省(sheng)事(shi)，為(wei)了(le)堵(du)住(zhu)學(xue)生(sheng)的(de)好(hao)奇(qi)提(ti)問(wen)，輕(qing)率(lv)地(di)
、haowugenjudiyijuhuajiubapinpudefupinlvbanbianrengdiaole。zairumendeshihou，dangranbukenengbabenwenshuodegainiantongtongguanshugeixuesheng
，yaoshunxujianjin。danlaoshishouxianyaoyougengkuanguangdezhishimianhegengkexuedesiweifangfa，jiaochudexueshengdecaihuijubeigengduodexiangxianglihechuangzaoxing。

 

作者：陳懷琛,方海燕 西安電子科技大學

 

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